Математическая модель физической системы

Первая задача, решённая мной на персональном компьютере. 1987 год.

Как истинный любитель всё упрощать, доводить до полной ясности, я на досуге, за несколько проб и попыток, помню, придумал себе простейшую математическую модель известной физической системы лестницы, стоящей на полу и прислонённой к стене.

Допущения

Действительно, получилась простенькая задачка из начальной математики и динамики, решаемая практически устно, лёжа или на ходу, следующего вида.
Идеально упругие – горизонтальный пол, перпендикулярная полу стена и лестница – находятся в поле тяготения; всякое трение и сопротивление среды отсутствуют. Объект – лестница  сводится даже не к стержню, а заменяется системой точек. Верхний конец (верхушка) лестницы в виде материальной точки свободно скользит по поверхности стены, движется по вертикальной прямой линии под действием только силы тяжести. Нижний конец (основание) лестницы в виде другой точки свободно скользит по поверхности пола, движется по горизонтальной прямой перпендикулярно стене, строго на расстоянии длины лестницы от верхней точки лестницы. Указанные вертикальная и горизонтальная прямые линии образуют плоскость, перпендикулярную полу, в которой происходит движение объекта (лестницы). Данная плоскость представлена в виде координатной плоскости xy на фигуре 1, титульный рисунок статьи; там же отмечены точка 1 – нижняя точка и точка 2 – верхняя точка лестницы.

Уравнения

Движение верхней точки 2 лестницы описывается простейшим дифференциальным уравнением второго порядка – уравнением (1), представленным на титульном рисунке. Начальные условия для дифференциального уравнения (1):
- ордината (высота) y2 точки 2 равна длине лестницы L,
- производная координаты y2 равна 0.
Абсцисса x2 точки 2 постоянно равна 0.
Точка 2 в начале движения находится в состоянии неустойчивого равновесия.
Следует заметить, что, взятый автономно и изолированно, представленный физический процесс движения является, и называется, классической задачей свободного падения шарика как материальной точки.
Но. Здесь этот процесс объединяется с движением другой точки, нижней точки 1 лестницы. Положение этой точки 1 лестницы определяется с помощью геометрического уравнения Пифагора (2), представленного на том же рисунке. Данное уравнение (2) служит для определения абсциссы x1 точки 1; ордината y1 этой точки постоянно равна 0.

Решение

Решением дифференциального уравнения (1) является квадратичная функция – парабола, изображённая на фиг. 2 титульного рисунка в виде графика изменения ординаты y2 (высоты) верхней части лестницы (точки 2) в зависимости от времени t; наблюдается снижение точки, вначале медленное, затем ускоренное. Аналитическое решение дифференциального уравнения (1) существует и представляет собой известное математическое выражение для решения задачи свободного падения, содержащее вторую степень (квадрат) времени:

g*t^2/2

(говорится “же тэ квадрат пополам”). Гравитационное ускорение g = 9.8 м/сек^2.
Абсцисса x2 точки 2, как указано выше, постоянно равна 0.

Одновременно с изложенным процессом опускания верхней части лестницы имеет место перемещение нижней части лестницы (точки 1) по поверхности пола, перпендикулярно стене.
Как следует из рассмотрения поведения абсциссы x1 точки 1, отражённого на графике (фиг. 2), вначале это перемещение происходит довольно быстро, затем оно замедляется и в конце доходит до нулевого значения.
Важно, что математическая модель процесса указывает на наличие определённого начального значения производной абсциссы x1 по времени (скорости, dx1/dt). Для длины лестницы в 10 метров эта скорость приблизительно равна 10 м/сек.; для длины 1 м – равна 3 м/сек.
Кроме того, выясняется, что график абсциссы x1 от времени в начальной точке t = 0 близок к прямой линии; следовательно, вторая производная абсциссы x1 по времени в начальной точке равна нулю, то есть ускорение равно нулю, никакой силы в нижней точке лестницы не действует. Что и понятно – в процессе, по принятым допущениям, присутствует только вертикальная сила тяготения. Линейность вблизи нуля – это свойство графика функции несколько напоминает, например, синусоиду. Уравнение модели содержит подкоренное выражение с чётными степенями переменной времени – видимо, функция зависимости абсциссы x1 от времени иррациональная. Вряд ли имеется название типа (вида) этой кривой.

В целом процесс падения лестницы совершается просто стремительно: лестница длиной 1 метр падает на пол менее чем за полсекунды (0,45 сек.), лестница длиной 10 метров, как показано на графике, падает быстрее чем за полторы секунды (1,41 сек.).
В момент падения, удара об пол, скорость верхней точки лестницы: для длины L лестницы в 10 метров достигает приблизительно sqrt(2*g*L) = 14 м/сек., для длины 1 м – 4,4 м/сек.

Можно представить себе траекторию движения лестницы в пространстве – с помощью семейства траекторий отдельных точек, принадлежащих лестнице.
Для этого, предварительно, на фиг. 3 изображена в виде прямой линии наша лестница в некотором общем, промежуточном положении, и выбраны какие-то характерные точки на лестнице. Именно: точка 1 – нижняя, точка 2 – верхняя; добавлена точка 0 середины лестницы, являющаяся центром масс или ближайшей к центру масс, а также промежуточные точки 3 и 4.
На фиг. 4 прорисованы траектории движения этих указанных точек в пространстве, точнее, в плоскости:
- точки 1 и 2 перемещаются по осям координат,  их траектории вырождаются  в прямые линии,  совпадающие с координатными осями;
- центральная точка 0 в процессе падения лестницы  как бы вырисовывает окружность,  точнее четвертушку окружности;
- точки 3 и 4  перемещаются,  как  я  предполагаю,  по эллиптическим  кривым  (четвертушки эллипса), соответственно сжатым и вытянутым. Требуется доказать.

Временная середина рассматриваемого процесса движения наступает в момент времени 0,72 сек., когда верхняя часть (ордината y2 точки 2) опускается с высоты 10 м до приблизительно 7 м, а абсцисса x1 точки 1 (нижняя часть лестницы на поверхности пола) изменяется от нуля также до величины 7 м. Оба графика, как показано на фиг. 2, в этот момент пересекаются.

На картинке траекторий движения лестницы (фиг. 4) момент временной середины рассматриваемого процесса движения также фиксируется – показом условного изображения объекта в виде отрезка зелёной пунктирной линии, который своим центром касается окружности O, а соответствующие абсцисса и ордината концов его выравниваются на (всё той же) величине 7 м.

Весьма ценным оказалось наличие достаточно простого аналитического решения рассматриваемого дифференциального уравнения. Что послужило серьёзным обоснованием выбора подходящего метода интегрирования данного дифференциального уравнения, с соответствующими вычислительными параметрами метода. А также принесло солидную пользу и для последующей математической практики.

Расширение

Однако, однако. Признаюсь, что все приведённые выше рассуждения послужили мне для особой цели. Не зря же был упомянут падающий шарик. Который после столкновения с идеально упругим полом и в идеальных условиях отскакивает от пола вверх до высоты, с которой он начинал падение.

Теперь я эти утверждения распространил на физический объект – лестницу.
Было показано, что в момент касания пола, идеально упругого, лестница, во всех её точках не имея скоростей и ускорений в горизонтальных направлениях, за счёт удара меняет знаки скоростей и ускорений в вертикальных направлениях – на противоположные и подскакивает вверх. Картина: лестница сама собой поднимается во весь свой рост до вертикального положения, с которого она начинала падение, и на мгновение прислоняется к стене; положение неустойчивое, и лестница вновь начинает падение. И так далее, прыгая вверх-вниз, «как заведённая», в силу отсутствия трения и сопротивления среды.
Может быть, кто-то делал подобные рассуждения, описывал. Не видел, не встречал. Уважаю.

Бывало, шёл и думал, ну как «посчитать» то или иное уравнение, процесс, объект, явление. То были, например, задачи управления движением объекта в пространстве. Или поиски наилучшей математической модели. Как правило, сложные системы дифференциальных уравнений. Аналитическое решение получить удавалось редко, выручали частные случаи, крайние и граничные условия. Но чаще всего – пространственное воображение и научное чутьё, интуиция. Давай, давай; дело требовало.

Научно-технический прогресс шагнул. И вот в 1986-1987 годах на работе появились настольные, персональные компьютеры. Мечты сбылись. Мои задачи стали решаемы.